Huellas de bicicleta con monodromía hiperbólica

"Huellas de bicicleta con monodromía hiperbólica", organizado polo CITMAga. Será impartido por Luis Hernández Lamoneda (CIMAT, México).

Data: Mércores 22 de maio de 2024.

Hora: 12.00 h.

Lugar: Aula 9 da Facultade de Matemáticas, USC.

Abstract:

Sea Γ una curva cerrada en el plano euclidiano 𝔼𝔼2 y piensa que es la huella de la rueda delantera de una bicicleta. ¿Sucederá que la rueda trasera trazará otra curva cerrada?

Fija un punto 𝑝𝑝 ∈ Γ. Si la bici mide 1, entonces en su posición inicial el cuadro representa un vector 𝑣𝑣 ∈ 𝑆𝑆 1 (el círculo centrado en 𝑝𝑝). Al dar una vuelta completa y retornar a 𝑝𝑝, el cuadro apuntará ahora en otra dirección 𝑀𝑀(𝑣𝑣) ∈ 𝑆𝑆 1. Un teorema de Foote nos dice que 𝑀𝑀 ∈ 𝑃𝑃𝑆𝑆𝑃𝑃(2, ℝ), i.e. es una
transformación de Möbius. ¿Qué condiciones en Γ implican que 𝑀𝑀 es hiperbólica? (observa que en este caso hay exactamente dos posiciones iniciales de la rueda trasera que hacen que su huella sea otra curva cerrada). En 1906, Menzin conjetró que si el área encerrada por Γ es mayor a π, entonces 𝑀𝑀 es hiperbólica. Tabachnikov y Levi lo han demostrado en el caso en que Γ es convexa.

En esta charla probaré otra condición suficiente para la hiperbolicidad de 𝑀𝑀 (que no supone convexidad), así como una condición necesaria para ello (la primera que se conoce). La prueba usa la correspondencia entre las curvas del plano euclidiano (𝔼𝔼 2) y el hiperbólico (ℍ2) que se obtiene al rodar ℍ2 sobre 𝔼𝔼 2.